首先对2L,3L的表示敬意
2L用詹森不等式,知道这不等式的话这题就变得和小学的一样了
3L用拉格朗日乘数法,只能说"我去,太有霸气了"
LZ,昨天给你做了第一题,其实就离这第二题只有半步之遥了
我没有细想,抱歉抱歉...今天一早就有灵感了
例如：证当x>1时,证明x^2>x
证：设f(x)=x^2-x
得f’(x)=2x-1>0
所以f(x)当x>1时单调递增.
所以f(x)>f(1)=0,
即不等式得证.
这只是要说明一个方法.用导数证明不等式,只要构造一个函数,然后证明单调性就可以得出结论.
一股化成两边差的函数，求最小值>0：定义域x>0,
设f(x)=x/e+(2x+9/x)e^x-12x-2x?lnx-10lnx
f'(x)=1/e+(2-9/x?）e^x+(2x+9/x)e^x-12-4xlnx-2x?/x-10/x
=1/e+(2-9/x?+2x+9/x）e^x-12-4xlnx-2x-10/x
f'(1)=1/e+(2-9+2+9）e-12-0-2-10
=1/e+4e-24<0>
f''(x)=(18/x?+2-9/x?+2-9/x?+2x+9/x）e^x-4lnx-4-2+10/x?
=(18/x?+4-18/x?+2x+9/x）e^x-4lnx-6+10/x?
f'''(x)=(-54/x^4+36/x?+2-9/x?+18/x?+4-18/x?+2x+9/x）e^x-4/x-20/x?
=(-54/x^4+54/x?+6-27/x?+2x+9/x）e^x-4/x-20/x?
=[(-54+54x+6x^4-27x?+2x^5+9x?）e^x-4x?-20x]/x^4
x-->0,f'''(x)->(-54)/0+->-∞，
f^(4)(x)=(216/x^5-162/x^4+54/x?+2-9/x?-54/x^4+54/x?+6-27/x?+2x+9/x）e^x+4/x?+60/x^4
=(216/x^5-216/x^4+108/x?+8-36/x?+2x+9/x）e^x+4/x?+60/x^4
=[(216-216x+108x?+8x^5-36x?+2x^6+9x^4）e^x+4x?+60x]/x^5
设g(x)=216-216x+108x?+8x^5-36x?+2x^6+9x^4
g'(x)=-216+216x+40x^4-108x?+12x^5+36x^3
g''(x)=216+160x?-216x+60x^4+108x?
g'''(x)=480x?-216+240x?+216x=24（20x?-9+10x?+9x）
g''''(x)=960x+720x?+216>0
g'''(x)单增，g'''(0)=-216<0>0,
x=0.4496597467,g'''(x)=0,g''(x)极小=157.71>0,
∴g''(x)>0,g'(x)递增，
g'(x)=0,x=1.057200861,
g(x)最小值=g(1.057200861)=90.41589768>0
f^(4)(x)>0,f'''(x)单增。
x=1.247534771，f'''(x)=0，
f''(x)最小值=26.235，∴f'(x)单增，只有1个0点：
x=3.434417108，f'(x)=0,f(x)有最小值=212.902，
f(x)>0
所以：得证。
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最基本的方法就是 将不等式的的一边移到另一边，然后将这个式子令为一个函数 f(x). 对这个函数求导，判断这个函数这各个区间的单调性，然后证明其最大值（或者是最小值）大于 0. 这样就能说明原不等式了成立了！
先令t=lnx
x=e^t
所以
g(t)=(1/2)(e^t+e^(-t))
h(t)=(1/2)(e^t-e^(-t))
f(t)=g(t)+h(t)=e^t
f(x)=e^x
令F(x)=e^x-1-x-x^2/2
F(0)=1-1-0-0=0
F'(x)=e^x-1-x
下需证F'(x)>0对x>0恒成立
因为F'(0)=1-1-0=0
下需证F''(x)=e^x-1>0对x>0恒成立
这个显然，因为e^x递增，x=0时函数值为1，x>0必有e^x>1
所以F''(x)在x>0上恒正，递增，所以F'(x)>0
所以F(x)>0在x>0上恒成立
所以f(x)>1+x+x^2/2在x>0上恒成立